Parametik Hipotez Testleri ve Varyans Analizi

Parametrik Test Varsayımları;

1. Örneklemin çekildiği evrenle ilgili	2. Örneklemle ilgili
a- Normal dağılıma sahip olmalı	a- Denekler evrenden rastgele seçilmeli
b- Varyanslar homojen olmalı	b- Denekler birbirinden bağımsız

olarak seçilmeli

1.Tek Ana Kütle Ortalaması Hipotez Testi ( Bağımlı gruplarda T Testi)

Bu analizde belirli bir önem derecesinde ana kütle aritmetik ortalamasının belli bir değerden büyük, küçük veya farklı olup olmadığı test edilir.

Örneklem sayısı n>30 ise test istatistiği Z olarak, nó30 ise t istatistiği hesaplanır. Bu istatistiklerin formülleri şöyledir:

Bu test uygulanarak, iddia edilen ana kütle ortalamasının gerçek olup olmadığı ve örneğin bu ana kütleye ait olup olmadığı hakkında da fikir verir.

Bu testin serbestlik derecesi (n-1)'dir. 

ÖRNEK: Bir işletmenin yıllık ortalama üretim miktarı düzenli olarak kaydedilmiş ve ortalaması 500 olarak bulunmuştur. Bu yılki üretimi denetlemek isteyen yöneticiler üretimden 100 adet örneklem almış ve ortalamasını X=490, standart sapması S=40 olarak bulmuştur. %1 güven sınırına göre yıllık üretim miktarlarının ortalaması 500 kabul edilebilir mi? Test ediniz.

ÇÖZÜM: H0: µ1=µ2 ; H1: µ1¹µ2 ;n>30 olduğundan Z testi uygulanacaktır.

Serbestlik derecesi n-1 =100-1=99 olarak bulunur.

0.01 güven düzeyinde çift yönlü test kritik değeri=2.58

Z_Hesap< Z_Tablo;  2.5<2.58 olduğundan H0 kabul, H1 ret edilir.

Sonuç: iki ortalama arasında fark yoktur. (z=2.5, p<.01)

 

2. Tek Ana Kütle Oranı İle İlgili Hipotez Testi

Ana kütlenin herhangi bir niteliğinin belirli bir orandan büyük, küçük veya farklı olup olmadığının test edilmesinde kullanılır.

n>30 ise z istatistiği, n<30 ise t istatistiği hesaplanır.Bu istatistiklerin formulleri şöyledir.

ÖRNEK: Pazar payının %40'ını elinde bulundurduğunu idda eden bir firma satışları ile ilgili yapılan ve 82 birimi kapsayan örneklemde sözkonusu oranı %35 bulmuştur. %5 güven düzeyinde iddanın doğruluğunu tespit ediniz.

ÇÖZÜM: H0 : p – P = 0 ; H1 : p – P ¹ 0 ;  p=%35; P=%40; n=82; @=0.05

Serbestlik derecesi = n-1 = 82-1=81 olarak bulunur.

0.05 güven düzeyinde çift yönlü test kritik değeri=1.96 dır.

Z_Hesap< Z_Tablo; -0.92<1.96 olduğundan H0 kabul H1 ret edilir.

Sonuç: iki oran arasında fark yoktur. (z=-0.92, p<.05) İddia geçerlidir.

 

6.1.3. İki Örnek Ortalamasının Karşılaştırılması (Bağımsız gruplarda T testi)">

3. İki Örnek Ortalamasının Karşılaştırılması (Bağımsız gruplarda T testi)

Birbirinden bağımsız iki örneklemin ortalamaları arasındaki farkın hangi yönde olduğu ve bu farkın önemli olup olmadığı test edilmesinde kullanılır.

Örneklem büyüklüğüne göre n>30 ise z,  istatistiği n<30 ise t istatistiği hesaplanır.

Bu testte serbestlik derecesi (n1+n2 -2)'dir.

ÖRNEK SORU: Bir işletmede iki vardiya şeklinde üretim yapılmaktadır. Birinci

grup 40 günlük çalışma sonunda ortalama 74 parça üretimde bulunmuş ve standart sapması 8 olarak hesaplanmıştır. İkinci grup ise 50 günlük çalışma sonunda ortalama 78 parça üreterek 7 standart sapma ile çalışmışlardır. %5 güven sınırlarında iki grubun ortalamaları farklı mıdır?

ÇÖZÜM: n1=40 ; X1=74; S1=8; n2=50; X2=78; S2=7; @=0.05

Hipotezler: H0 =X1-X2=0 ;  H1 =X1-X2¹0

Serbestlik derecesi (n1+n2 -2) = 40+50-2 =88 olarak bulunur.

0.05 güven düzeyinde çift yönlü test kritik değeri=1.96 dır.

Z_Hesap> Z_Tablo; 2.49>1.96 olduğundan H0 reddedilir.

Sonuç: iki ortalama arasında fark vardır. (z=-2.49, p<.05)

 

4. İki Örnek Oranının Karşılaştırılması:

İki örnek için oranlar hesaplanmış ise; bu oranlar arası fark ve bu farkın önemi test edilir. Serbestlik derecesi (n1+n2 -2) şeklinde hesaplanır.

Hesaplama için n>30 ise z istatistiği, n<30 ise t istatistiği hesaplanır.Bu istatistiklerin formulleri şöyledir:

Bu testte serbestlik derecesi (n1+n2 -2)'dir.

ÖRNEK: Bir şampuan üreticisi, iki farklı şehirde 100'er kişilik gruplar üzerinde bir araştırma yaparak şampuan kullananların oranını belirlemiştir. Birinci şehirde %75; ikinci şehirde ise %65 olumlu yanıt almışlardır. İki şehirdeki kullanıcı oranları arasında fark olup olmadığını 0.05 güven düzeyinde test ediniz.

 ÇÖZÜM: P1=0.75; P2=0.65; n1=100; n2=100; @=0.05

Hipotezler: H0 : P1- P2 = 0 ; H1 : P1 – P2 ¹ 0 ;n=100 olduğundan z testi kullanılır.

Serbestlik derecesi (n1+n2 -2) = 100+100-2 =198 olarak bulunur.

0.05 güven düzeyinde çift yönlü test kritik değeri=1.96 dır.

Z_Hesap> Z_Tablo; 2.22>1.96 olduğundan H0 reddedilir.

Sonuç: iki oran arasında fark yoktur. (z=2.22, p<.05)

 

5. Varyans Analizi ( F Testi )

 

İkiden çok örnek kütle ortalamalarının karşılaştırılmasında kullanılır.

Bu yöntemle toplam değişmeye katkıda bulunan çeşitli değişim kaynaklarının değişkenler arası etkileşimi ve deneysel hataları incelenir.

Varyans analizi tek yönlü ve çok yönlü olarak uygulanabilir. Tek yönlü varyans analizi elle hesaplanabilir, ancak çok yönlü varyans analizi için bilgisayar kullanılmalıdır. Bu yöntemle ilgili aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir:

1. Gruplardaki bireyler birbirine benzer ve homojen olmalıdır.

2. Gruplar birbirinden bağımsız olmalıdır. Bağımlı gruba uygulanmaz.

3. Veriler ölçümle belirlenmiş sürekli karakter olmalıdır.

4. Gruplardaki denek sayısı(n) en az 20 olmalıdır.

5. Gruptaki denek sayıları birbirine eşit veya yakın olmalıdır.

Bu şartlar sağlanamadığı zaman nonparametrik karşılığı "Kruskal Wallis varyans analizi" uygulanmalıdır.

 ÖRNEK: İşletmede bulunan üç eşdeğer makina üretimi aşağıdaki gibidir. Bu üç makina arasında fark var mıdır?

 I. Kareler toplamlarının bulunması:

GnKT:Genel Kareler Toplamı

GAKT: Gruplar arası kareler toplamı

 

GiKT: Grup içi kareler toplamı

 

Serbestlik Derecelerinin Bulunması:

Genel serbestlik derecesi: GnSD= n-1 =30-1=29

Gruplar arası serbestlik derecesi: GASD=Grup sayısı-1=3-1=2

Grup içi serbestlik derecesi: GiSD= n-Grup sayısı=30-3=27

Kareler Ortalamasının Bulunması:

Gruplar arası kareler ortalaması:

 Grup içi kareler ortalaması:

Varyasyon Kaynağı Tablosunun Hazırlanması:

Varyasyon Kaynağı	Kareler Toplamı	Serbestlik Derecesi	Kareler Ortalaması
VK	KT	SD	KO
Gn	72.7	29	—-
GA	47.4	2	23.7
Gi	25.3	27	0.937

 Hipotezler:  H0: Gruplar arası fark yoktur. H1: Gruplar arasında fark vardır.

Test istatistiği olarak F istatistiği kullanılır.

Yanılma olasılığı (güven düzeyi)@ =0.05 seçilmiştir.

Varyans analizinde iki serbestlik derecesi kullanılır.

Gruplar arası serbestlik derecesi=2 Grup içi serbestlik derecesi=27

F tablo değeri bulunur. F=3.35

Karşılaştırma: F_Hesap=25.3 F_Tablo  = 2.35 ;   25.3 > 2.35 olduğundan H0 red edilir.

Sonuç: Gruplar arasında fark vardır. Üç makinenın üretimi arasında anlamlı bir fark bulunmuştur. Bundan sonra gruplar ikişer ikişer karşılaştırılır. Bu karşılaştırmada t testi kullanılır. Bu şekilde karşılaştırılan ortalamalar sıralanır ve önem denetimi yapılır.

 

 Cahit Cengizhan 2001-2003 Ders Notları Arşivinden